Liste des compétences

Comprendre le rôle des définitions, axiomes, propriétés et théorèmes dans la construction du raisonnement mathématique

Élaborer une démonstration logique, structurée et rigoureuse

Choisir et mettre en œuvre des modes de preuve adaptés (raisonnement direct, raisonnement par contraposée, raisonnement par l’absurde, démonstration par récurrence, …)

Identifier les hypothèses, la conclusion et la portée d’un résultat

S’exprimer à l’oral et à l’écrit de manière claire et rigoureuse

Reconnaître la dimension esthétique des mathématiques

Bob dit à Alice : « Tout nombre qui s’écrit avec une racine carrée peut sûrement être écrit sous la forme d’une fraction. »

Alice : « Qu’est-ce que tu entends par là ? »

Bob : « Il suffit de chercher assez longtemps… »

Alice : « Je reformule : une fraction entre quels nombres ? »

Bob : « Naturellement, des nombres qui ont une réalité… »

Alice (qui sourit) : « Ne cherche plus : Dans les réels, tu as raison. Dans les naturels, tu as tort. »

Bob : « Tu joues encore sur les mots ! »

Alice : « Non ! Mais avec la logique, la racine carrée de 2 et… l’absurde, assurément. »

Expliquer pourquoi l’approche de Bob est irrecevable en mathématiques et les raisons qui pousse Alice à demander des précisions à Bob. Terminer enfin par démontrer les assertions d’Alice tout en relevant les clins d’œil dans le dialogue.

Définir et manipuler les concepts de suite et de série

Appréhender les limites de l’approche intuitive de la convergence et en comprendre la définition formelle

Utiliser des critères appropriés pour établir une convergence

Établir un développement illimité standard d’une fonction de base

Établir le rayon de convergence d’une série entière

Respecter le formalisme et faire preuve de rigueur

Pour établir le rayon de convergence de la série de Taylor du logarithme naturel en $1$, Claude montre que la suite des termes de la série tend vers $0$ lorsque $x\in]0 ;2]$ et diverge lorsque $x>2$. Claude en déduit alors que le rayon de convergence de cette série vaut $1$. Lui montrer que son raisonnement est faux mais que sa conclusion est correcte.

Démontrer que la suite formée par les quotients de deux termes consécutifs d’une suite de Fibonacci quelconque converge vers le nombre d’Or.

Passer de situations concrètes à des objets abstraits

Reconnaître et manipuler des structures communes à différentes situations mathématiques

Maîtriser la notion d’espace vectoriel et exploiter la notion de bas

Établir des propriétés dans un espace vectoriel en relevant leur dépendance à la seule structure (et non aux objets)

Utiliser des morphismes dans la comparaison de structures mathématiques

Utiliser correctement un langage symbolique et formel

Faire preuve de curiosité et de persévérance face à l’abstraction

Bob à Alice: « Identifier les nombres complexes avec les couples de réels, je veux bien. »

Alice : « C’est l’idée de Gauss… »

Bob : « Mais avec des oscillations harmoniques ? Ça, je ne vois pas ! »

Alice : « C’est parce qu’ils ont la même dimension ! »

Oscar (s’incrustant à la discussion) : « Tu captes ou je décrypte ?»

Bob : « Volontiers ! »

Imaginer ce qu’Oscar et Alice expliquent à Bob dans la suite de cette conversation.

Démontrer que la famille des oscillateurs libres non amortis forme un espace vectoriel et en donner une base.

Identifier les besoins et les variables pertinentes d’un problème réel

Quantifier une dépendance à l’aide d’une fonction à une ou plusieurs variables

Utiliser une courbe du plan pour modéliser une trajectoire ou une image

Poser une équation différentielle traduisant des données sur la variation d’une grandeur

Exprimer une variation totale à l’aide d’une intégrale

Utiliser une matrice pour présenter et synthétiser des informations

Choisir un modèle adéquat

Faire preuve de curiosité scientifique

Un bureau d’ingénieurs étudie le comportement vibratoire d’un pont piétonnier. Lorsqu’un groupe de personnes traverse le pont, celui‑ci se met à osciller verticalement. Modéliser, suivant les lois de la physique, la déviation verticale du pont en fonction du temps par une équation différentielle en identifiant les hypothèses admises et en associant une signification concrète aux différents termes et variables intervenant dans l’équation.

Alice fait part à Bob de son projet de créer une entreprise. Elle lui partage son besoin de créer un logo vectoriel et son envie d’y parvenir seule. Bob lui conseille d’utiliser des coniques et des courbes de Bézier. Expliquer à Alice, en se basant sur une création originale concrète, pourquoi et comment ces courbes permettent d’obtenir une image vectorielle d’une qualité constante, quelle qu’en soit la taille.

Résoudre une (in)équation

Manipuler une courbe et ses représentations

Résoudre un problème d’optimisation (à plusieurs variables, sous contrainte)

Résoudre une équation différentielle (du premier ordre, du second ordre à coefficients constants)

Calculer une intégrale

Déterminer et utiliser un développement (il)limité d’une fonction

Déterminer et exploiter les valeurs et espaces propres d’une application linéaire

Utiliser de manière appropriée un algorithme et une ressource numérique

Choisir entre résolution exacte et résolution approximative et gérer l’erreur

La croissance d'une population ne peut être infinie mais tend vers sa capacité maximale $G$ connue pour cause de ressources limitées. Pour modérer le modèle exponentiel, le modèle logistique postule donc que le taux de croissance d'une population $y$ en fonction du temps $t$ est à la fois proportionnel à son effectif actuel $y(t)$ ainsi qu'à la différence $G-y(t)$, ce qui conduit à une équation différentielle non linéaire du premier ordre. La population actuelle est bien entendue connue. Pour obtenir la population dans 40 ans, Alice propose d’utiliser une méthode numérique. Bob prétend de son côté qu’avec un changement de variable, on réduit le problème à une équation différentielle linéaire et qu’il est alors possible d’obtenir la solution exacte par les méthodes connues. Développer ces deux points de vue et comparer les résultats obtenus.

Les responsables touristiques d'une station de moyenne montagne planifient la construction d'un nouveau circuit VTT. Relativement à un repère orthonormé de l'espace, la configuration du terrain à disposition est modélisée sur un domaine du plan par le graphe de la fonction $f$ d'expression connue $h= f(x;y)$, laquelle associe à chaque couple $(x;y)$ (où $x$ et $y$ sont mesurés en km) l'altitude $h$ (exprimée en mètres). Pour des raisons marketing, le tracé de la piste pour VTT doit être élaboré de sorte qu’il corresponde, vu d’avion, à une ellipse de foyers et de petit axe imposés. Etablir une proposition concrète incluant la longueur du parcours, les altitudes maximale et minimale du parcours ainsi qu’une visualisation dynamique du relief de la montagne incluant son sommet et le parcours.

Distinguer réalité, modèle et représentation

Identifier les hypothèses d’un modèle et justifier l’adéquation de ces hypothèses avec la situation réelle

Identifier le rôle des paramètres du modèle en distinguant les situations qualitativement différentes pouvant apparaître

Comparer l’utilisation de modèles différents pour une même situation

Respecter le domaine de validité d’un modèle

Formuler une conclusion nuancée et argumentée

Faire preuve d’honnêteté et de responsabilité intellectuelles dans l’utilisation de modèles

Prendre position (tout en l’étayant) sur cette affirmation : « Pour des triangles sphériques de petite taille, la formule du cosinus pour les côtés conduit à la formule du cosinus euclidienne, ce qui met en évidence la géométrie euclidienne comme modèle local de la géométrie sphérique.»

Pour décrire la nature exacte des oscillations d'un système libre amorti et en donner une interprétation physique, il est nécessaire de déterminer les solutions de l'équation différentielle homogène $\ddot{y}+2\rho \dot{y}+\omega_0^2y=0$ où les constantes positives $\rho\neq 0$ et $\omega_0$ sont connues et dépendent du système mécanique ou électrique considéré. Etablir les différents comportements possibles de l’oscillateur en fonction de la relation entre ces paramètres tout en illustrant les conclusions par une représentation visuelle du mouvement ou de la charge.

Décrire une procédure avec une suite d’instructions logiques

Expliquer une procédure algorithmique

Mettre en œuvre une procédure algorithmique rigoureuse

Évaluer la pertinence d’un algorithme

Implémenter un algorithme avec un outil informatique

Maîtriser l’utilisation de structures conditionnelles et de répétition dans la programmation procédurale

Faire preuve de rigueur dans l’exécution et de souci d’efficacité

Deux étudiants en informatique, Alice et Bob, doivent écrire un programme permettant d’évaluer un polynôme. Alice propose à Bob de programmer la méthode classique en utilisant une boucle. Bob la regarde avec malice et lui dit : « Tu ne connais pas le schéma de Horner ? Il te permettra d’être bien plus efficace et te livrera même un bonus.» Expliquer le point de vue d’Alice et les propos de Bob puis mettre en œuvre leurs solutions.

Utiliser un développement limité d’une fonction comme approximation

Résoudre une équation (notamment différentielle) avec une méthode numérique

Approcher une intégrale définie avec une méthode numérique

Choisir et appliquer une méthode numérique ainsi qu’un critère d’arrêt adaptés

Présenter une méthode numérique à l’aide d’une illustration

Implémenter une méthode numérique avec un outil informatique

Accepter l’approximation comme outil scientifique

Un.e étudiant.e en astronomie détermine à l’aide de mesures l’anomalie moyenne d’une planète se déplaçant sur une trajectoire elliptique d’excentricité connue et doit, dans sa série hebdomadaire, calculer l’anomalie excentrique afin de déterminer la position réelle de la planète. En guise d’aide, l’assistant en charge des exercices lui indique que l’utilisation de l’équation de Kepler s’impose. L’étudiant.e dit, dépité.e : « J’ai l’équation mais je ne sais pas comment la résoudre. D’autant plus qu’on n’a droit qu’à une calculatrice non scientifique ou un langage de programmation ne pouvant effectuer que les quatre opérations de base. » Aider cette âme en peine en lui présentant une solution à ses problématiques.

Identifier une incertitude sur une valeur ou une mesure

Identifier une formule scientifique comme une relation fonctionnelle dépendant de plusieurs variables

Manipuler une fonction à plusieurs variables

Approcher une variation par linéarisation

Quantifier les répercussions de l’utilisation d’une valeur approximative dans un calcul

Relier un calcul mathématique à une décision concrète

Faire preuve d’esprit critique sur les raisonnements basés sur des données incertaines

Dans le cadre d’une émission défendant les droits des consommateurs, un journaliste veut effectuer des tests sur des appareils de chauffage électrique. Un modèle d’appareil annonce une puissance nominale 3 000 W sous les conditions normales d’utilisation. Pour contrôler cette affirmation, le journaliste ne démonte pas l’appareil mais effectue des mesures qui présentent des incertitudes liées aux instruments utilisés: son voltmètre indique une tension de 228±3 V et son ohmmètre indique une résistance de 18,0±0,5 Ω. La formule de l’effet Joule lui permet bien entendu de calculer la puissance nominale mais il obtient un résultat bien inférieur à la valeur annoncée. Il en conclut donc que l’annonce est mensongère. Écrire un mail au service de communication de cette émission relevant que cette conclusion n’est pas correcte en expliquant pourquoi.