Liste des compétences

Appliquer les règles de calcul, notamment sur les entiers, les fractions, les puissances à exposants rationnels et les racines

Calculer des grandeurs à partir d’un pourcentage et inversement

Écrire un nombre sous une représentation (fraction, code décimal, notation scientifique, approximation) et dans l’unité adéquates

Calculer l’incertitude d’une mesure et estimer son erreur

Les élèves créent une affiche de sensibilisation pour une entreprise qui illustre l’impact environnemental causé par les trajets en voiture de ces employés ainsi que les diminutions possibles en utilisant des alternatives (transport publique, co-voiturage, mobilité douce, home-office).

Ils reçoivent différentes entreprises avec les données nécessaires (liste des employés avec taux d’emploi, distances des trajets, marques des voitures ou motos, habitudes, …) Ils doivent ensuite effectuer des recherches afin de pouvoir faire les calculs nécessaires (consommations des véhicules, quantité de CO2 émise par litre, alternatives possibles, …).

Les élèves estiment les émissions annuelles de CO2 pour leur entreprise, comparent différents scénarios et expriment les réductions possibles, notamment en pourcentage. Les résultats doivent être présentés sous une forme adaptée (choix des unités, arrondis pertinents, éventuellement notation scientifique, pourcentages).

À la fin, les affiches sont présentées et la classe discute de la clarté, de la pertinence des choix numériques, de l’exactitude des résultats ainsi que de la qualité de la conception et de la communication.

Connaître et appliquer les notions de base de la théorie des ensembles (union, intersection, complémentaire, différence) en utilisant la notation usuelle

Représenter un ensemble ainsi que les opérations qui agissent dessus sous la forme d’un diagramme de Venn

Connaître les quatre principaux ensembles de nombres (naturels, entiers relatifs, rationnels et réels) avec leur notation usuelle et leurs relations d’inclusion

Connaître et appliquer les opérations sur les ensembles et les sous-ensembles de nombres, en particulier les intervalles

Utiliser le langage et les représentations ensemblistes pour modéliser une situation et obtenir une information concrète (par exemple, les événements issus d’une expérience aléatoire)

Communiquer en utilisant un formalisme mathématique et en respectant les conventions

Démontrer des égalités entre différents ensembles

Une commune aimerait mieux comprendre les caractéristiques de sa population afin d’adapter ses services (sport, culture, mobilité, …). Pour cela, elle définit les sous-ensembles et crée un questionnaire que les habitants doivent remplir

De plus on fournit des sous-ensembles sous forme de phrases (parfois ambiguës ou complexes), par exemple :

• « Les personnes qui font du sport et utilisent les transports publics »

• « Les personnes qui ne font ni sport ni utilisent les transports publics »

• « Les personnes qui font du sport mais n’utilisent pas les transports publics »

La tâche des élèves consiste à :

1. Traduire ces descriptions en langage ensembliste

2. Représenter certaines situations à l’aide de diagrammes de Venn

3. Effectuer le travail inverse (on leur donne des expressions ensemblistes et ils les reformulent en langage clair)

4. Définir eux-mêmes des sous-ensembles pertinents

5. Répondre à des questions de déduction concrètes

Ensuite ils comparent leurs résultats et constatent que certaines situations peuvent être décrites de différentes manières (un sous-ensemble peut être écrit ou énoncé de façons différentes).

Évaluer une expression littérale

Expliquer l’égalité entre deux expressions littérales

Appliquer les règles des puissances à exposants entiers et rationnels aux expressions littérales en exprimant au besoin la réponse avec des radicaux

Appliquer les règles de calcul usuelles aux fractions littérales simples et simplifier le résultat

Factoriser une expression algébrique non fractionnaire en utilisant les méthodes adéquates (mise en évidence, identités remarquables, factorisation du trinôme du second degré)

Appliquer les règles de calcul usuelles à une expression littérale non fractionnaire pour la développer et la réduire

Maîtriser la terminologie et les liens entre les grandeurs apparaissant dans un contexte donné

Une classe souhaite vendre un produit afin de financer un voyage d’étude. La quantité vendue dépend du prix, relation donnée sous forme d’une équation ou d’un tableau. Le coût de production en fonction de la quantité est également donné sous forme d’une expression mathématique.

La tâche des élèves consiste à :

1. Définir la variable pertinente (par exemple la quantité produite) et exprimer le chiffre d’affaires ainsi que le bénéfice sous forme d’expressions littérales en fonction de cette variable.

2. Simplifier et transformer l’expression du bénéfice (développer, factoriser) et l’exprimer sous différentes formes.

3. Déterminer des valeurs caractéristiques de la situation, notamment les seuils de rentabilité et le bénéfice maximal.

4. Comprendre et expliquer que les différentes formes d’une même expression ne sont pas uniques et qu’elles présentent chacune des avantages selon le problème étudié.

Traduire en (in)équation(s) un énoncé exprimé sous forme verbale, au besoin en définissant la (les) inconnue(s)

Situer les mathématiques dans les sciences et la société

Résoudre une équation :

• polynomiale, rationnelle simple, racine simple, exponentielle, logarithmique et trigonométrique

• méthodes du produit nul et du changement de variable

Résoudre un système d’équations :

• linéaire et non linéaire

• méthodes de la substitution et de la combinaison linéaire

Résoudre une inéquation

Les élèves reçoivent des situations issues de différentes disciplines scientifiques (biologie, chimie, économie, pharmacie, …). Ils doivent modéliser, en fonction du temps , la variation d’une grandeur à partir des informations données.

À partir de ce modèle, un seuil critique est défini pour chaque situation. Les élèves doivent traduire ce seuil sous forme d’équation ou d’inéquation, puis déterminer le moment où la grandeur atteint ou dépasse ce seuil.

Ils interprètent ensuite les solutions obtenues dans le contexte donné (par exemple : moment où un médicament devient efficace ou seuil critique pour une population).

Exemples de situations :

• Évolution d’une population d’animaux dans un milieu hostile

• Concentration d’un médicament dans le sang pour qu’il soit efficace

• Évolution du capital d’un investissement avec intérêts composés et détermination du moment où un objectif financier est atteint

• Décharge d’une batterie et détermination du moment où elle passe sous un seuil minimal d’utilisation

• Refroidissement d’un objet et détermination du temps nécessaire pour atteindre une température donnée

Formuler les principaux résultats mathématiques nécessaires

Isoler une variable dans une formule donnée

Raisonner de façon argumentée et rigoureuse

S’approprier un raisonnement et le soumettre à la critique ou à la comparaison

Les élèves reçoivent un énoncé mathématique facile à démontrer ainsi que plusieurs tentatives de démonstration, par exemple $(a+b)^3=...$. Certaines sont correctes, d’autres fausses et encore d’autres incomplètes.

Ils doivent :

1. Comprendre et reformuler le résultat à démontrer

2. Analyser chaque démonstration proposée

   • Identifier les étapes correctes

   • Repérer les erreurs ou imprécisions

3. Justifier leur analyse de manière rigoureuse

4. Comparer les différentes approches

5. Proposer une démonstration correcte et structurée

6. A la fin les élèves préparent un rapport ou présentation qu’ils peuvent partager avec les autres élèves de la classe.

On fournit aux élèves plusieurs formules issues de contextes scientifiques. Voici les taches possibles à effectuer :

• Isoler une variable donnée

• Justifier les étapes de transformation

• Contrôler le résultat en remplaçant par des valeurs numériques dans la formule donnée au départ et la formule transformée.

A la fin on laisse présenter quelques résultats devant la classe.On fournit aux élèves plusieurs formules issues de contextes scientifiques. Voici les taches possibles à effectuer :

• Isoler une variable donnée

• Justifier les étapes de transformation

• Contrôler le résultat en remplaçant par des valeurs numériques dans la formule donnée au départ et la formule transformée.

A la fin on laisse présenter quelques résultats devant la classe.

Transformer un nombre complexe d’une forme (algébrique, trigonométrique et exponentielle) à une autre

Effectuer des opérations sur les nombres complexes en utilisant la forme la plus adaptée

Représenter un nombre complexe et interpréter les opérations sur $\mathbb{C}$ dans le plan complexe

Résoudre des équations polynomiales (notamment du deuxième et du troisième degré) dans $\mathbb{C}$ et interpréter les solutions

Les élèves reçoivent des énoncés concernant les nombres complexes et doivent décider si ceux-ci sont vrais ou faux tout en justifiant. Ensuite ils comparent leurs résultats avec les camarades de classe et essaient ainsi de comprendre leurs erreurs.

Exemple d’énoncés :

• Pour tout nombre complexe $z$, on a $Im(Re(z))=0$.

• Pour tout nombre complexe $z$, on a $\overline{z^2}=\overline{z}^2$.

• Si $w$ et $z$ sont deux solutions complexes d’une équation du deuxième degré à coefficients réels, alors $Im(z)=-Im(w)$.

• Pour tous nombres complexes $z$ et $w$, on a toujours $|z+w|=|z|+|w|$.

• Pour tous nombres complexes $z$ et $w$, on a toujours $|z*w|=|z|*|w|$.