Liste des compétences

Reconnaître et utiliser l’expression d’une fonction élémentaire (à savoir polynomiale, racine, rationnelle, exponentielle, logarithmique et trigonométrique) pour obtenir une information concrète (image, préimage(s), ensemble de définition, ensemble des zéros, signe, périodicité) et en tracer le graphe

Associer l’expression fonctionnelle adéquate à une droite, une parabole, une hyperbole, la courbe de la racine carrée, resp. cubique, la courbe de la valeur absolue, une courbe exponentielle et une courbe sinusoïdale

Interpréter le graphe d’une fonction pour obtenir une information concrète (image, préimage(s), ensemble de définition, ensemble des zéros, ensemble des valeurs, continuité, signe, bijectivité, périodicité, comportement à l’infini, variation et extrema, courbure et inflexion)

Interpréter et résoudre graphiquement une (in)équation

Formuler, identifier et appliquer les propriétés spécifiques d’une fonction élémentaire (propriétés des racines, propriétés des exponentielles, propriétés des logarithmes, relations fondamentales de la trigonométrie et propriétés trigonométriques principales)

Appliquer graphiquement et algébriquement la composition de fonctions

Déduire le graphe d’une fonction obtenu par la composition d’une fonction élémentaire avec une fonction affine

Définir la notion de fonction réciproque, en esquisser le graphe et en déterminer l’expression fonctionnelle

Établir l’expression fonctionnelle d’une fonction à partir de contraintes, notamment graphiques

Définir et illustrer des concepts mathématiques

Dans le cadre d’un jeu, les élèves sont amenés à inscrire, à l’intérieur d’un triangle $ABC$ de base $c = 12$ cm et de hauteur $h_C = 16$ cm fixées, un rectangle dont un côté est situé sur le côté $c$ du triangle et à trouver les dimensions du plus grand qu’il est ainsi possible d’inscrire.

A ce dessein, les élèves sont amenés à…

1. … inscrire différents rectangles puis pour chaque rectangle à en mesurer la base et la hauteur pour en déduire l’aire ;

2. … à calculer la base et l’aire d’un rectangle dont la hauteur est fixée à 2 cm ;

3. … à déterminer l’expression de la base et de l’aire d’un rectangle en fonction de sa hauteur $x$ fixée.

Une fois cette première partie terminée, les élèves reçoivent le graphe de la fonction $A$ exprimant l’aire d’un rectangle inscrit en fonction de sa hauteur $x$ et doivent y lire différentes informations qu’ils confrontent par binômes:

1. l’aire du rectangle correspondant à une hauteur de $11$ cm ;

2. les hauteurs des rectangles inscrits d’aire correspondant à $30$ cm$^2$  ;

3. les hauteurs des rectangles assurant une aire strictement inférieure à $40$ cm$^2$  ;

4. la mesure du côté du carré qu’il est possible d’inscrire ;

5. la hauteur du rectangle d’aire maximale ;

6. l’aire maximale pouvant être atteinte par un rectangle inscrit.

Établir l’existence et la valeur d’une limite en un point et à l’infini d’une fonction à partir de son graphe

Calculer (en levant une indétermination si nécessaire) une limite d’une fonction élémentaire

Lier la notion de continuité à celle de limite en un point

Déterminer l'ensemble sur lequel une fonction est continue et caractériser les comportements locaux où la fonction ne l’est pas par lecture graphique et par calcul

Déterminer par calcul le comportement à l’infini d’une fonction et en déduire les équations des éventuelles asymptotes affines

Illustrer graphiquement les notions d’accroissement, de taux de variation moyen et de taux de variation instantané et en déterminer les valeurs par lecture graphique et par calcul

Localiser les comportements de non dérivabilité d’une fonction et en caractériser le type par lecture graphique et par calcul

Déterminer par calcul l’expression d’une dérivée d’une fonction à l’aide de la définition de la dérivée et/ou des règles de dérivation

Établir les tableaux de variation et de courbure d’une fonction à partir de ses dérivées première et seconde puis en déduire les coordonnées et la nature des extrema et des points d’inflexion de son graphe

Définir et illustrer des concepts mathématiques

Une balle est lancée verticalement en l’air à partir du sol. La hauteur de la balle (en mètres) $t$ secondes après son lancer peut être modélisée par la fonction

$$h(t)=30t-5t^2 \text{ pour } t \in [0;6].$$

A partir d’un fichier dans lequel figure le graphe de la fonction $h$ sur l’intervalle $[0;6]$ doté du point fixe $A(2;40)$ et d’un point mobile $P(t;h(t))$ géré par un curseur, les élèves doivent, par groupes, proposer des solutions capables de…

1. … calculer/estimer la vitesse instantanée de la balle 2 secondes après son lancer,

2. … calculer la vitesse instantanée de la balle t secondes après son lancer,

3. … calculer/estimer la vitesse de la balle au moment où elle atteint à nouveau le sol,

4. … préciser le lien entre le signe de la vitesse instantanée de la balle et le sens de son déplacement.

Les résultats obtenus sont ensuite présentés à la classe sous la forme d’une page d’un bloc-notes partagé mettant en évidence les estimations obtenues grâce au fichier graphique.

Déterminer l’expression de la dérivée de la fonction $f$ d’expression $f(x)=\frac1x$ à l'aide de la définition de la dérivée.

Retrouver l’intégrale indéfinie des fonctions de base

Calculer l’intégrale indéfinie de fonctions à l’aide de la linéarité de l’intégrale, par substitution et par parties

Définir la notion d’intégrale définie à l’aide de sommes de Riemann

Estimer graphiquement la valeur d’une intégrale définie

Énoncer, prouver et appliquer le théorème fondamental du calcul différentiel et intégral pour calculer une intégrale définie

Calculer une intégrale impropre

Définir, illustrer et relier des concepts mathématiques

Dans le cadre de la rénovation de la porte d’entrée en bois d’un château, une commune mandate la classe pour estimer l’aire de celle-ci afin de commander la bonne quantité de peinture nécessaire à sa restauration.

Sachant que le contour de la porte peut être modélisé par le graphe de la fonction

$$f(x)=4-x^2 \text{ pour } x \in [-2;2],$$

les élèves doivent proposer par groupes différentes approches qui seront ensuite débattues en vue de faire ressortir la notion de sommes de Riemann et de lier le problème au calcul de primitives. A ce dessein, les élèves auront un accès à un logiciel graphique et à internet.

Expliquer à un·e camarade la démonstration du théorème fondamental du calcul différentiel et intégral

Établir par calcul l’équation d’une tangente et d'une normale au graphe d’une fonction

Calculer l’angle d’intersection entre deux courbes

Établir par calcul une valeur optimale dans un modèle mathématique donné par une fonction

Calculer l’aire d’une surface délimitée par le graphe de plusieurs fonctions

Calculer le volume d’un solide obtenu par la rotation d’une région du plan autour d’un axe horizontal ou vertical

Calculer la valeur moyenne d’une fonction continue sur un intervalle borné et fermé

Calculer et interpréter la variation totale d’une grandeur issue de contextes divers à partir de son taux de variation instantanée

Résoudre une équation différentielle simple par séparation de variables

Appliquer des techniques mathématiques fondamentales

Un parc aquatique est doté d’un toboggan qui arrive dans un bassin rempli d’eau. Selon les plans de l’architecte du toboggan, la hauteur $h$ (en [m]) du toboggan par rapport au sol en fonction de sa position horizontale $x$ (en [m]) est donnée par l’expression

$$h(x)=7-\frac{\pi x}{12}+2\cos\left(\frac{π}{6}-\frac{πx}{12}\right) \text{ pour } 0≤x≤24.$$

Sachant que la partie contenant de l’eau se trouve entre les abscisses $x_1=11.4$ m et $x_2=24$ m, le parc aquatique mandate la classe pour connaître…

1. … la pente de la partie la plus raide du toboggan ;

2. … la profondeur moyenne de l’eau du bassin.

Pour répondre au besoin du parc aquatique, l’enseignant sépare la classe en deux équipes :

• La première équipe, responsable de la question 1, doit calculer la pente du toboggan aux abscisses paires entre 0 et 10 pour estimer celle qui semble la plus raide puis vérifier son estimation à l’aide des outils du calcul différentiel.

• La deuxième équipe, responsable de la question 2, doit calculer la profondeur de l’eau du bassin en chaque abscisse entière située entre 12 et 24 pour proposer une estimation de la profondeur moyenne basée sur ces différentes prises de mesure puis vérifier son estimation à l’aide des outils du calcul intégral.

Finalement, par groupes de 2 élèves provenant chacun d’une des deux équipes, les élèves proposent un rapport à transmettre au parc aquatique exposant les conclusions de leurs recherches en vulgarisant les techniques de calcul utilisées.

Une pierre est lancée verticalement vers le haut à partir sommet d’une falaise située à $40 m$ du sol avec une vitesse initiale de $30 m/s$. En supposant que le mouvement de la pierre est vertical et que la pierre n’est soumise qu’à la force de pesanteur de la Terre qui lui imprime une accélération constante d’environ $g\approx 10 m/s^2$, les élèves doivent exposer une stratégie permettant de calculer la distance totale parcourue par la pierre jusqu’au moment où elle atteint le sol.

Traduire un énoncé verbal en relation fonctionnelle dans un registre adéquat (expression fonctionnelle, graphe, etc.)

Identifier le besoin dans une situation concrète liant deux variables puis choisir et appliquer les outils mathématiques adéquats pour le remplir

Identifier les situations de proportionnalité (directe et indirecte) et de croissance exponentielle et les exprimer avec la fonction adéquate

Modéliser des situations décrivant l’évolution d’un phénomène cyclique simple à l’aide d’une fonction sinusoïdale, notamment en expliquant le rôle de son amplitude, de sa vitesse angulaire, de son déphasage et de sa valeur moyenne

Modéliser une grandeur à partir d’informations sur sa variation

Résoudre un problème d’optimisation

Analyser à l’aide des outils mathématiques un modèle quantitatif donné sous forme de lien fonctionnel pour en discuter les limites et le soumettre à la critique ou la comparaison

Accepter l’effort et faire preuve de persévérance

Exposer et discuter la démarche de travail adoptée

Les élèves doivent proposer à une compagnie aérienne responsable de la mise en service d’un avion solaire très en vue le prix à proposer à ses clients pour le trajet Genève-Paris. Ce prix par personne doit assurer à la compagnie un profit maximal pour le trajet.

A ce dessein, la compagnie met à disposition de la classe des données relatives au nombre moyen de passagers qu’elle a enregistrés en fonction de différents prix du trajet proposés :

De plus, la compagnie sait qu’un siège occupé occasionne des coûts de CHF 10.- et que chaque siège vacant lui coûte CHF 130.-.

Après avoir modélisé l’évolution du nombre de passagers en fonction du prix fixé par le trajet, modélisé l’évolution du coût d’un trajet en fonction du nombre de passagers dans l’avion et estimé la capacité de l’avion et le prix d’un trajet sans passager, la classe doit proposer à la compagnie aérienne sous forme d’une présentation un prix à fixer pour un trajet permettant de maximiser son profit en justifiant ses conclusions à l’aide de graphes et de calculs.

Un randonneur situé en un point $A$ au bord d'un lac circulaire de 2 km de rayon doit atteindre un point $B$ situé sur la rive diamétralement opposée à $A$. Pour y parvenir, le randonneur peut se déplacer en barque de manière rectiligne jusqu’en un point $C$ de la rive à la vitesse moyenne de 2 km/h puis parcourir la fin du trajet à pied en longeant la rive à la vitesse de 4 km/h.

Les élèves doivent calculer la valeur de l’angle $\varphi = \widehat{CAB}$ assurant au randonneur un temps de parcours minimal puis maximal et exposer leur résultat au travers d’une animation informatique mettant en relation la description du trajet à réaliser par le randonneur en fonction de la valeur de l’angle $\varphi$ sous la forme du croquis de la situation et le temps du parcours associé sous forme d’un graphe.