Liste des compétences

Définir la notion de matrice et la terminologie associée (coefficient, ligne, colonne, type)

Identifier et nommer les matrices particulières (échelonnées, carrées, triangulaires, symétriques, identités, inverses)

Définir, identifier et déterminer une matrice liée à une situation concrète (système d’équations linéaires, optimisation linéaire, transformations géométriques, matrice d’adjacence, matrice de transition dans le cadre d’une chaîne de Markov, matrice décrivant certains modèles économiques, matrice de codage en cryptographie, etc)

Traduire en langage matriciel un énoncé exprimé sous forme verbale et inversement

Structurer une démarche de modélisation

Une commune souhaite analyser son réseau de transports publics afin d’améliorer la lisibilité des correspondances entre différents quartiers. Le réseau comprend 5 arrêts principaux. Un bus circule directement entre certains arrêts (sans changement), parfois dans un seul sens. La commune souhaite disposer d’un outil mathématique simple permettant de

• représenter toutes les connexions existantes,

• répondre rapidement à des questions sur l’accessibilité du réseau.

Elle demande à un groupe d’élèves de proposer une modélisation mathématique adaptée. Le résultat devra être proposé sous la forme d’un panneau explicatif pouvant être affiché à chaque arrêt de bus.

Définir et appliquer les opérations (échelonnage, addition, soustraction, multiplication par un scalaire, produit et transposition) sur les matrices

Définir et appliquer les opérations propres au matrices carrées (déterminant, inverse et puissance)

Résoudre un système d’équations linéaires sous forme matricielle avec la méthode appropriée (méthode de Gauss-Jordan, méthode de la matrice inverse ou méthode de Cramer) selon la question posée

Traduire sous forme verbale des informations contenues dans une matrice ou un nombre issu du calcul matriciel

Faire preuve de rigueur et de persévérance face à de longs calculs

Utiliser un outil numérique pour gérer des tableaux de données

Situer les mathématiques dans les sciences et la société

Un laboratoire scolaire travaille sur la numérisation d’images destinées à être affichées sur le site internet du collège. Pour simplifier l’étude, on s’intéresse à une image en noir et blanc très simple, représentée par une grille de 8 × 8 pixels. Chaque pixel peut être blanc ou noir. Les technicien·ne·s expliquent aux élèves que, dans un ordinateur, cette image est stockée sous forme de données numériques, et leur demandent comment représenter et manipuler mathématiquement cette image pour la stocker, l’agrandir, l’inverser ou encore la faire pivoter. Les élèves devront être capables de produire ces effets sur l’image de 8 × 8 pixels.

Un moteur de recherche souhaite classer des pages web en fonction de leur importance (PageRank). Chaque page peut contenir des liens vers d’autres pages. Un lien d’une page vers une autre signifie que la première recommande la seconde. Une page est considérée comme importante si elle reçoit beaucoup de liens, et surtout si ces liens proviennent de pages elles‑mêmes importantes. Comment modéliser mathématiquement ce réseau de liens afin de déterminer l’importance relative de chaque page ? Les élèves devront produire un podcast explicatif de cet algorithme sur un réseau composé de 4 pages et la terminer en effectuant une analogie avec l’algorithme PageRank de Google.